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Die Spur einer Matrix

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1. Die Spur (engl./franz.: trace) einer Matrix $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ist definiert zu $\def\tr{\mathop{\rm tr}}\tr A=a_{11}+\cdots+a_{nn}$, somit die Summe der Hauptdiagonalelemente. Durch elementare Rechnung zeigt man $\tr AB=\tr BA$, für zwei beliebige Matrizen $A\in\mathbb{C}^{n\times m}$, $B\in\mathbb{C}^{m\times n}$. $A$ und $B$ brauchen nicht zu kommutieren oder quadratisch sein. Insbesondere gilt $\def\adj#1{#1^*}\adj ab=\tr b\adj a$, für zwei beliebige Vektoren $a,b\in\mathbb{C}^n$.

$\tr\adj AB$ ist das Skalarprodukt für zwei quadratische Matrizen $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$. Deswegen gilt: $\forall B:\tr\adj AB=0$ $\Rightarrow$ $A=0$ (Nichtausgeartetheit des Skalarproduktes/Anisotropie). Aus dem Rieszschen Darstellungssatz, Riesz, Friedrich (1880--1956), folgt die Äquivalenz: $g$ ist eine Linearform genau dann, wenn $\exists B:$ $g=\tr BA$ für alle $A$. Weiterhin gilt

2. Satz: Die folgenden beiden Aussagen sind äquivalent:

(1) $g\colon\mathbb{C}^{n\times n}\to\mathbb{C}$ ist (komplexes) Vielfaches der Spurfunktion.

(2) $g\colon\mathbb{C}^{n\times n}\to\mathbb{C}$ ist eine Linearform, also $g(\lambda A+\mu B)=\lambda g(A)+\mu g(B)$ und es gilt $g(AB)=g(BA)$, für alle $\lambda,\mu\in\mathbb{C}$ und alle $A,B\in\mathbb{C}^{n\times n}$.

Beweis: “(1)$\Rightarrow$(2)”: Dies sind einfache Rechenregeln für die Spurfunktion.

“(2)$\Rightarrow$(1)”: siehe Nicolas Bourbaki (1970)*1970+2A: "Éléments de mathématique: Algèebre", Hermann, Paris, 1970, 167+210+258S. = 635S. Für $n=1$ ist dies klar. Für $n\ge2$ sei $A=E_{ij}$ und $B=E_{jk}$ mit $i\ne k$. Hierbei ist $E_{\rho\tau}$ diejenige Matrix, welche an der Stelle $(\rho,\tau)$ eine 1 enthält und sonst nur Nullen. Für derartige Matrizen bestätigt man leicht $E_{ik} E_{j\ell} = 0$, falls $k\ne j$ und $E_{ik} E_{k\ell} = E_{i\ell}$. Damit gilt $g(E_{ik})=0$ $(i\ne k)$ und mit $A=E_{ij}$ und $B=E_{ji}$ ergibt sich $g(E_{ii})=g(E_{jj})$. Da die $E_{\rho\tau}$ eine Basis von $\mathbb{C}^{n\times n}$ bilden, folgt $g(A)=\lambda\tr A$ $\forall A$, mit geeignetem, festem $\lambda$.     ☐

Der Satz zeigt, daß es Linearformen auf der Algebra $\mathbb{C}^{n\times n}$, die gegenüber Vertauschungen invariant sind, nicht viele gibt. Durch Normierung, etwa $g(E_{11})=1$ oder $g(I)=n$, ist die Spurfunktion eindeutig bestimmt.

3. Lemma: $\forall C,D\in\mathbb{C}^{n\times n}$: $\mathop{\rm Re}\nolimits \tr CD\le{1\over2}\left(\tr C\adj C+\tr D\adj D\right)$.

Beweis: Siehe Sha, Hu-yun (1986): "Estimation of the Eigenvalues of $AB$ for $A>0$, $B>0$", Linear Algebra and Its Applications, Vol 73, January 1986, pp.147--150. Es ist $\mathop{\rm Re}\nolimits \tr CD=\mathop{\rm Re}\nolimits \sum_{i,k}c_{ik}d_{ki}={1\over2}\sum_{i,k}\bigl( c_{ik}d_{ki}+\overline{c_{ik}d_{ki}}\bigr)$, und weiter ist ${1\over2}\bigl(\tr C\adj C+\tr D\adj D\bigr)={1\over2}\sum_{i,k}\bigl( c_{ik}\overline{c_{ik}}+d_{ik}\overline{d_{ik}}\bigr)= {1\over2}\sum_{i,k}\bigl(c_{ik}\overline{c_{ik}}+d_{ki}\overline{d_{ki}}\bigr)$. In abkürzender Schreibweise sei $c_{ik}=e+fi$ und $d_{ki}=g+hi$. Damit hat man

$$ \eqalignno{ c_{ik}d_{ki}+\overline{c_{ik}d_{ki}} &= (e+fi)(g+hi)+(e-fi)(g-hi) = 2eg-2fh,\cr c_{ik}\overline{c_{ik}}+d_{ki}\overline{d_{ki}} &= (e+fi)(e-fi)+(g+hi)(g-hi) = e^2+f^2+g^2+h^2,\cr } $$

also $c_{ik}d_{ki}+\overline{c_{ik}d_{ki}} \ge c_{ik}\overline{c_{ik}}+d_{ki}\overline{d_{ki}}$, somit ${1\over2}\sum_{i,k}\left(c_{ik}d_{ki}+\overline{c_{ik}d_{ki}}\right) \ge {1\over2}\sum_{i,k}\left(c_{ik}\overline{c_{ik}}+d_{ki}\overline{d_{ki}}\right)$.     ☐

Ist eine hermitesche Matrix $A$ invertierbar, so ist die Inverse $A^{-1}$ ebenfalls hermitesch, da $AB=I=\adj B\adj A=\adj BA=A\adj B$, also $B=\adj B$, weil eine invertierbare Matrix stets mit seiner Inversen kommutiert. Genauso gilt: die Inverse eine normalen Matrix ist normal. ($A=UD\adj U\Rightarrow A^{-1}=(UD\adj A)^{-1}=(\adj U)^{-1} D^{-1} U^{-1} =UD^{-1}\adj U$.) Daraus ergibt sich sofort: die Inverse einer positiv definiten Matrix ist wieder positiv definit. Entsprechend ist die Inverse einer negativ definiten Matrix selbst wieder negativ definit. Es zeigt sich nun, daß das Produkt zweier positiv definiter Matrizen zumindestens wieder positve Eigenwerte besitzt.

4. Satz: Voraussetzungen: Es seien $A\succ0$, $B\succ0$ zwei positiv definite (hermitesche) Matrizen aus $\mathbb{C}^{n\times n}$ mit Eigenwerten $0<\mu_1\le\cdots\le\mu_n$ bzw. $0<\nu_1\le\cdots\le\nu_n$.

Behauptung: (1) $AB$ hat nur positive reelle Eigenwerte $0<\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n$.

(2)     $\displaystyle{{2\over\sum_i\mu_i^{-2}+\sum_i\nu_i^{-2}} \le \tr AB \le {1\over2}\left(\sum_i\mu_i^2+\sum_i\nu_i^2\right)}.$

Da alle Eigenwerte $\lambda_i$ von $AB$ echt positiv sind, gilt insbesondere als Vergröberung

$$ {2\over n}{\mu_1^2 \nu_1^2 \over \mu_1^2 + \nu_1^2} \lt \lambda_i \lt {n\over2} \left(\mu_n^2 + \nu_n^2\right). $$

Beweis: Siehe Sha, Hu-yun (1986): Zu $A$ existiert $P$ mit $A=P\adj P$. Wegen $B\succ0$ also $P^{-1}B(\adj P)^{-1}\succ0$, daher existiert eine unitäre Matrix $U$, sodaß

$$ P^{-1}B(\adj P)^{-1}=U\mathop{\rm diag}(x_1,\ldots,x_n)\adj U, $$

mit entsprechenden Eigenwerten $x_i>0$. Nun ist

$$ \eqalign{ 0 \lt x_1+\cdots+x_n &= \tr P^{-1}B(\adj P)^{-1} \cr &=\tr(\adj P)^{-1}P^{-1}B \cr &= \tr AB\le{1\over2}\left(\tr A\adj A+\tr B\adj B\right) \cr & ={1\over2}\left( \sum_i\mu_i^2+\sum_i\nu_i^2\right). \cr } $$

Die $x_i$ sind die Eigenwerte von $AB$, da

$$ \eqalign{ \left|\lambda I-AB\right| &= \left|A\right| \left|\lambda A^{-1}-B\right| \cr &= \left|A\right| \bigl|\lambda P\adj P-PU\mathop{\rm diag}(x_1,\ldots,x_n)\adj{(PU)}\bigr| \cr &=\left|A\right| \left|PU\right| \left|\mathop{\rm diag}(\lambda-x_1,\ldots,\lambda-x_n)\right| \bigl|(PU)^\top\bigr|. \cr } $$

Nach dem selben Muster setzt man $B=Q\adj Q$, $Q^{-1}A^{-1}(\adj Q)^{-1}= V\mathop{\rm diag}(y_1,\ldots,y_n)\adj V$. Also

$$ \eqalign{ 0\lt y_1+\cdots+y_n &= \tr Q^{-1}A^{-1}(\adj Q)^{-1} \cr &= \tr(\adj Q)^{-1}Q^{-1}A^{-1}=\tr B^{-1}A^{-1}\le {1\over2}\tr A^{-1}\adj{(A^{-1})}+\tr B^{-1}\adj{(B^{-1})} \cr &= {1\over2}\left(\sum_i \mu_i^{-2} + \sum_i \nu_i^{-2}\right). } $$

Die $y_i$ sind zugleich Eigenwerte von $(AB)^{-1}$, denn

$$ \eqalign{ \left|\lambda I-AB\right| &= \left|A\right| {\mskip 3mu} \left|\lambda A^{-1}-B\right| \cr &= \left|A\right| {\mskip 3mu} \bigl|\lambda QV\mathop{\rm diag}(y_1,\ldots,y_n)\adj{(QV)} - Q\adj Q\bigr| \cr &= \left|A\right| {\mskip 3mu} \left|QV\right| {\mskip 3mu} \left|\mathop{\rm diag}(\lambda y_1-1,\ldots,\lambda y_n-1)\right| {\mskip 3mu} \bigl|\adj{(QV)}\bigr|. \cr } $$

    ☐

5. Beispiel: Für $A={1{\mskip 3mu}0\choose0{\mskip 3mu}3}$, $B={2,{\mskip 3mu}-1\choose-1,{\mskip 3mu}2}$, $AB={2,{\mskip 3mu}-1\choose-3,{\mskip 3mu}6}$ lauten die Eigenwerte $1\le3$, $3\le5$ und $3\le5$, insbesondere muß $AB$ nicht hermitesch sein.